Question

设二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),对于x∈R恒成立,且f(x)=0的两个实数根的平方和为10，f(x)的图象过点

设二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),对于x∈R恒成立,且f(x)=0的两个实数根的平方和为10，f(x)的图象过点（0,3），求f(x)的解析式

Answer 1

设f(x)=ax^2+bx+c

若f(x)的图象过点(0,3)

则f(0)=c=3、f(x)=ax^2+bx+3

若f(2+x)=f(2-x)对于x∈R恒成立

则对称轴为x=-b/(2a)=2、b=-4a，f(x)=ax^2-4ax+3

设方程f(x)=0的两根为x1、x2

由韦达定理得：x1+x2=4、x1x2=3/a。

x1^2+x2^2=(x1+x2)-2x1x2=16-6/a=10、a=1

所以，f(x)=x^2-4x+3

.

Answer 2

设f（x）=ax²+bx+c
f(2+x)=f(2-x),得f（x）对称轴x=2，即-b/2a=2
x1²+x2²=10，即（x1+x2）²-2x1x2=10
16-c/a=10,的c/a=6
于是f（x）=ax²-4ax+6a
f（0）=3，得a=1/2
所以f（x）=（1/2）x²-2x+3