Question

已知向量a=(2cosx,cos2x),b=(sinx,√3),,函数f(x)=a*b,(x∈R)

(1)将函数y=2sinx的图像做怎样的变换可以得到函数f(x)的图像
(2)求函数f（x）区间[0，π/2]上的最大值和最小值
(3)若f(x0)=6/5,x0∈[0，π/2]，求cos2x0的值

Answer 1

向量a=(2cosx,cos2x),b=(sinx,√3),,
函数f(x)=a*b=2sinxcosx+√3cos2x
=sin2x+√3cos2x
=2(1/2*sin2x+√3/2*cos2x)
=2sin(2x+π/3)
1º函数y=2sinx的图像向左平移π/3得到y=sin(x+π/3)的图象；
2º y=sin(x+π/3)的图象上每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的1/2倍得慧轮仔到y=sin(2x+π/3)的图像
3ºy=sin(2x+π/3)的图像上每一点横坐标不变桐颂，纵坐标变为原来的2倍得到y=f(x)的图像

(2) ∵x∈ [0，π/2] ∴2x+π/3∈[π/3,4π/3]
∴2x+π/3=π/2时，f(x)取得最大值2
2x+π/3=4π/3时，f(x)取得最小值-√3
（3）∵f(x0)=6/5 ∴2sin(2x0+π/3)=6/5
∴sin(2x0+π/3)=3/5<√2/2=sinπ/4
∵x0∈[0，π/2] ∴2x0+π/3∈[π/3,4π/3]
若 2x0+π/3∈[π/3,π/2],则sin(2x0+π/前汪3)∈[√3/2,1]
与sin(2x0+π/3)=3/5矛盾
∴2x0+π/3∈（3π/4,π）
∴cos(2x0+π/3)=-4/5
∴cos2x0=cos[(2x0+π/)-π/3]
=cos(2x0+π/3)cosπ/3+sin(2x0+π/3)sinπ/3
=-4/5*1/2+3/5*√3/2
=(3√3-4)/10

Answer 2

(1)根据点备高积的定义F(X)=1/2sin2(.X+30).所以第一步：把y=2sinx的图像纵坐纯携标变为原来的1/4得y=1/2sinx。第二部：把y=1/2sinx横坐标缩短为原仿裤尺来的1/2得y=1/2sin2X。第三部：把y=1/2sin2X向左平移30度既得。注意：把角度化成弧度