Question

∫x^2/√(1-x^2)dx 用x=sint 代换得到的结果和直接把x/√(1-x^2)dx换成-√(1-x^2)dx做分部积分为何不一样

书上的解答用的是x=sint代换，可是我用后面那种方法没感觉错呢。。

Answer 1

结果应该是一样的，最后要把t带回去，要用到辅助三角形，即使用分布积分算，第二项-√(1-x^2)dx还是应该用三角函数代换，看看中间计算有没有什么错，cost=√(1-x^2)，我算的答案是sint/2-x*√(1-x^2)/2，不知道对不对

Answer 2

x = sint，dx = cost dt
∫ x²/√(1 - x²) = ∫ sin²t dt = (1/2)∫ (1 - cos2t) dt
= (1/2)(t - sintcost) + C
= (1/2)arcsinx - (1/2)x√(1 - x²) + C

至於分部积分法，不知道你的过程是怎样的？
∫ x²/√(1 - x²) = - ∫ x d(1 - x²)/[2√(1 - x²)] = - ∫ x d√(1 - x²)
= - x√(1 - x²) + ∫ √(1 - x²) dx，还是要用第二换元法