Question

如图1，等边△ABC和等边△CDE， （1）求证：BD=AE. （2）若等边△CDE绕点C旋转到BC、EC在一条直线上时。

如图1，等边△ABC和等边△CDE，
（1）求证：BD=AE.
（2）若等边△CDE绕点C旋转到BC、EC在一条直线上时。（1）中结论还成立吗？请给予证明。
（3）旋转到如图2位置时，若M为BD中点，N为AE中点，求证：①△CMN为等边三角形；②FG//BC

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Answer 1

(1)证明:因为BC=AC,DC=EC
又∠BCD=∠BCA-∠DCA
∠ACE=∠DCE-∠DCA
∠BCA=∠DCE
即∠BCD=∠ACE
所以△BCD≌△ACE(边角边)
也即BD=AE
(2)解：（1）中结论依然成立
证明：因为BC=AC,DC=EC
∠BCD=∠BCA（即∠DCE）+∠ACD=∠ACE
所以△BCD≌△ACE（同上），即BD=AE
（3）①证明：因为BC=AC，BM=AE，∠MBC=∠NAC（由（2）得）
故CM=CN❶，∠BCM=∠ACN
又∠BCM+∠MCA=60º，即∠ACN+∠MCA=60º→∠MCN=60º❷
由❶，❷得△CMN为等边三角形
②证明：因为BC=AC,∠DBC=∠EAC（已证），∠ACB=∠DCA=60º
故△BCF≌△ACG，CF=CG
又∠ACD=60º，所以△CFG为等边三角形，∠FGC=60º=∠GCE，
所以FG//BC（内错角相等）
全手工打出，望采纳。