Question

已知椭圆X^2/a^2 +Y^2/b^2 =1上任意一点M（除短轴端点外）与短轴两端点B1,B2的连线分别与X轴交于P,Q两点

设任一点M(acost,bsint)
短轴两端点A(0,b),B(0,-b)
MA交x轴于P(x1,0)，MB交x轴于Q(x2,0)
b/x1=(b-bsint)/acost
x1=acost/(1-sint)
bsint/(acost-x2)=b/x2
x2=acost/(1+sint)
|OP|*|OQ|=|x1|*|x2|=a^2cos^2t/(1-sint)(1+sint)
=a^2
所以|OP|*|OQ|为定值。

b/x1=(b-bsint)/acost
bsint/(acost-x2)=b/x2

这两个式子是怎么得到的

Answer 1

A、M、P三点共线。

PA的斜率kAP=(0-b)/(x1-0)=-b/x1

AM的斜率kAM=(bsint-b)/(acost-0)=-(b-bsint)/acost

A、M、P三点共线，则kAP=kAM、即b/x1=(b-bsint)/acost

同理，由B、M、Q三点共线，则有kBP=kBM、即bsint/(acost-x2)=b/x2

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