Question

设函数f(x)=x²-alnx,g(x)=x²-x,x∈(1,+∞),恒有函数f(x)的图像位于g(x)的上方，求a的范围

Answer 1

x∈(1,+∞),恒有函数f(x)的图像位于g(x)的上方
即x>1时,h(x)=f(x)-g(x)>0恒成立
需h(x)min>0
h(x)=x-alnx
h'(x)=1-a/x=(x-a)/x
当a≤1时，
∵x-a>0,x>1,h'(x)>0, ∴h(x)为增函数
∴h(x)无最小值， h(x)>h(1) =1符合题意
当a>1时，
1<x<a时，h'(x)<0,h(x)递减
x>a时，h'(x)>0,h(x)递增
∴h(x)min=h(a)=a-alna
由a-alna>0 ==> 1-lna>0
∴lna<1,a<e ∵a>1 ∴1<a<e
综上所述，符合条件的a的范围是a<e

Answer 2

f（X）-g（X）＞ 0
即X-aInX＞0，求一次导，得1-a/x而X＞1，则将a分情况讨论，
a＜=1，恒成立
a＞1，则导函数在（1，a）小于0，在（a， ∞）大于0，则原函数在X=a处有最小值，即a-aIna＞0即
a（1-Ina）＞0即1＜a＜e
综上所述
a属于区间（-∞，e）
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Answer 3

同意上解