Question

f（x）在[0，+∞）可导，f（0）=0，且其反函数为g（x）．若∫ f(x) 0g(t)dt＝x2ex，求f（x）

f（x）在[0，+∞）可导，f（0）=0，且其反函数为g（x）．若∫ f(x) 0g(t)dt＝x2ex，求f（x）．

Answer 1

由于

∫

f(x) 0

g(t)dt=x²e^x
等式两边分别对x求导，得：
g[f（x）]f'（x）=2xe^x+x²e^x
因为g（x）是f（x）的反函数，因此有：
g[f（x）]=x；
因此有：
xf'（x）=2xe^x+x²e^x；
当x≠0时，有：
f'（x）=2e^x+xe^x；
等式两边积分得：
f（x）=∫（2e^x+xe^x）dx=（x+1）e^x+C；
由于f（x）在x=0处可导，因此，f（x）在x=0处连续．
于是有：
f（0）=

lim

x→0+

f（x）=

lim

x→0+

[（x+1）e^x+C]=1+C=0；
因此：C=-1．
于是有：
f（x）=（x+1）e^x-1．