Question

已知数列{an}为等比数列，bn=1n[lga1+lga2+…+lgan-1+lg（kan）]，是否存在正数k，使数列{bn}为等差数列

已知数列{an}为等比数列，bn=1n[lga1+lga2+…+lgan-1+lg（kan）]，是否存在正数k，使数列{bn}为等差数列？

Answer 1

假设存在正数k使数列{b_n}为等差数列，
设等比数列{a_n}的公比为q，则a_n=a₁q^n-1＞0，
所以b_n=

1

n

[lga₁+lga₂+…+lga_n-1+lg（ka_n）]
=

1

n

lg[k（a₁a₂…a_n）]
=

1

n

lg[k(a1nq1+2+…+n?1)]
=

1

n

[lg(ka1n)+lgq

n(n?1)

2

]
=

1

n

[lg(ka1n)+lgq

n(n?1)

2

]
=

1

n

lgk+lga1+

n?1

2

lgq，
如果b_n为等差数列，则有b_n-b_n-1=d（d为常数），n≥2，
所以b_n-b_n-1=

1

n

lgk+lga1+

n?1

2

lgq-（

1

n?1

lgk+lga1+

n?2

2

lgq）
=

1

2

lgq?

1

n(n?1)

lgk为常数，
因为

1

n(n?1)

不可能为常数，所以系数lgk必为0，即lgk=0，
解得k=1．
则等差数列{b_n}的公差是

1

2

lgq，
所以存在这样的k使得数列{bn}成等差数列，且k=1．