Question

高分悬赏考研线性代数有一题疑问，见图片

Answer 1

对于本题来说，你的做法可行，需要稍加修改。先得出|β1,β2,β3|≠0，向量组II可由向量组I线性表示。再考虑向量组I是否可由向量组II线性表示，这时候根据|α1,α2,α3|来判定，是可行的。
但是你的做法不具一般性。一般做法是这样考虑的：
为了书写简单，记矩阵A=(α1,α2,α3)，B=(β1,β2,β3)。两个向量组等价，即向量方程AX=B与BY=A都有解，所以R(A)=(A,B)，R(B)=R(B,A)，所以两个向量组的等价归结为R(A)=R(B)=R(A,B)。
行列式|A|=a+1，|B|=6，所以R(B)=3，R(A,B)=3，所以两个向量组的等价就归结为R(A)=3。
所以|A|=a+1≠0，即a≠-1时，两个向量组等价。a=-1时，两个向量组不等价。
－－－－
本题简单之处在于|B|≠0，如果|B|也与a有关，那么过程就会麻烦些。涉及到矩阵的秩，标准答案用初等变换来做是中规中矩的做法

Answer 2

我觉得可以，而1L的问题也大可不必考虑，为什么？原因如下：
等价即相抵，有结论相抵即秩相同：
满秩即行列式不等于0
那么现在已知β组秩为3，而α组的秩与a有关
则显然有题目的答案
这已然是很严谨的证明，而且所用到的定理都是教材（北航，李尚志，线性代数）里的最基本定理。

关于1L的回答不赞同的地方：
我不明白为什么这道题会牵涉到线性表出，可能是由于学的教材不同的原因。但是等价性的判定只需要考虑秩就可以了。而对于“b1,b2,b3 能否由a1,a2,a3线性表示”的证明则是线性空间中就已经得出的结论，如果这也非得说明，那么我就不知道是不是应该追本溯源的说明很多东西。

总而言之，我认为LZ的解法没有错，反而更好。

Answer 3

图呢?

太模糊了
Hi 我.

追问

我重新传了图片，麻烦你看下哈

追答

有点不妥!
当行列式|a1,a2,a3|≠0时, 任一3维向量可由a1,a2,a3线性表示.
所以当两个行列式都不等于0时, 两个向量组等价, 这没问题.

问题在于: 当行列式 |a1,a2,a3|=0时, b1,b2,b3 能否由a1,a2,a3线性表示?!
这个必须交代一下.
标准答案中, 用初等行变换的方法说明了 a≠-1 时 b1,b2,b3 能由a1,a2,a3线性表示,
再加上一句, a=-1 时, b1,b3 不能由 a1,a2,a3线性表示 就完整了!!!

解: (α1,α2,α3,β1,β2,β3)=
1 1 1 1 2 2
0 1 -1 2 1 1
2 3 a+2 a+3 a+6 a+4

r3-2r1
1 1 1 1 2 2
0 1 -1 2 1 1
0 1 a a+1 a+2 a

r3-r2
1 1 1 1 2 2
0 1 -1 2 1 1
0 0 a+1 a-1 a+1 a-1

所以当a≠-1时,β1,β2,β3可由α1,α2,α3线性表示.
当a=-1时, β1,β3不能由α1,α2,α3线性表示,
故a=-1时向量组(I)与(II)不等价.

又因为 |β1,β2,β3|=
1 2 2
2 1 1
a+3 a+6 a+4

r1-2r2
-3 0 0
2 1 1
a+3 a+6 a+4

= 6 ≠ 0.

所以向量组(I)总可由(II)线性表示.
所以 a≠-1时, 向量组(I)与(II)等价.