Question

求微分方程y″+y=f（x）满足初始条件y（0）=0，y′（0）=1的特解，其中连续函数f（x）满足条件sinx-f（x

求微分方程y″+y=f（x）满足初始条件y（0）=0，y′（0）=1的特解，其中连续函数f（x）满足条件sinx-f（x）=∫x0tf（x-t）dt．

Answer 1

令u=x-t，则du=-dt，因此

∫

x 0

tf（x-t）dt=

?∫

0 x

(x?u)f(u)du=x

∫

x 0

f(u)du?

∫

x 0

uf(u)du
∴sinx?f(x)＝x

∫

x 0

f(u)du?

∫

x 0

uf(u)du
两边对x求导，得
cosx?f′(x)＝

∫

x 0

f(u)du
继续对x求导，得
-sinx-f″（x）=f（x）
即f″（x）+f（x）=sinx
这是二阶常系数非齐次线性微分方程
容易求得，其通解为：
f(x)＝C1cosx+C2sinx?

1

2

xcosx
又由sinx?f(x)＝x

∫

x 0

f(u)du?

∫

x 0

uf(u)du，得f（0）=0，因此C₁=0
由cosx?f′(x)＝

∫

x 0

f(u)du，得f′（0）=1，因此C2＝

3

2

∴f(x)＝

3

2

sinx?

1

2

xcosx
∴微分方程y″+y=f（x），即为y″+y＝

3

2

sinx?

1

2

xcosx
容易求出对应齐次方程的通解为：y=k₁cosx+k₂sinx
又y″+y＝

3

2

sinx的特解为：y1＝?

3

4

xcosx
y″+y＝?

1

2

xcosx的特解为：y2＝?

1

8

x2(cosx+sinx)
∴微分方程y″+y=f（x）的通解为：
y=k₁cosx+k₂sinx?

3

4

xcosx?

1

8

x2(cosx+sinx)
将y（0）=0，y′（0）=1，代入解得
k₁=0，k2＝

7

4

∴微分方程y″+y=f（x）的满足y（0）=0，y′（0）=1，特解为
y＝

7

4

sinx

Answer 2

令y'=p得
p'+p=sinx
先解出p'+p=0的通解为p=a*e^{-x}
令p'+p=sinx的通解为p=u*e^{-x}，其中u为x的函数，代入得
u'e^{-x}=sinx
得u'=sinx*e^{x}
积分得：
u=[(sinx-cosx)/2]*e^{x}+b
从而得：
p'+p=sinx的通解为p={[(sinx-cosx)/2]*e^{x}+b}*e^{-x}=(sinx-cosx)/2+b*e^{-x}
即y'=(sinx-cosx)/2+b*e^{-x}
积分得：
y=-(cosx+sinx)/2-b*e^{-x}+c
即为通解。