Question

已知圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，则圆C上点到直线l：ρcosθ-2ρsinθ+4=0的最短距离为______

已知圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，则圆C上点到直线l：ρcosθ-2ρsinθ+4=0的最短距离为______．

Answer 1

这道题可以用极坐标转化为直角坐标的方法来做。
转化方法及其步骤：
第一步：把极坐标方程中的θ整理成cosθ和sinθ的形式
第二步：把ρcosθ化成x，把ρsinθ化成y
第三步：把ρ换成（根号下x^2＋y^2）；或将其平方变成ρ^2，再变成x^2＋y^2
第四步：把所得方程整理成让人心里舒服的形式。

所以对圆C：ρ=2cosθ，两边同时乘以ρ，得ρ^2=2ρcosθ，代入得(x-1)^2+y^2 = 1
对直线，直接代入，得x - 2y + 4 = 0
把x = 2y - 4代入圆的方程，得到 一个二次型，求极值。
由题意可得，最短距离为√5 - 1

Answer 2

由ρ=2cosθ?ρ²=2ρcosθ?x²+y²-2x=0?（x-1）²+y²=1，
ρcosθ-2ρsinθ+4=0?x-2y+4=0，
∴圆心到直线距离为：
d=

|1?2×0+4|

5

=

5

．
则圆C上点到直线l：ρcosθ-2ρsinθ+4=0的最短距离为

5

-1
故答案为：

5

-1．