Question

如图，∠ABC，∠ACB的平分线相交于F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，连接AF，那么下列结论正确的是（

如图，∠ABC，∠ACB的平分线相交于F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，连接AF，那么下列结论正确的是（　　）①△BDF，△CEF都是等腰三角形；②∠BFC=90°+12∠BAC；③△ADE的周长为AB+AC；④AF平分∠BAC．A．①③④B．①②C．①②③④D．②③④

Answer 1

①∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠ABF=∠CBF，
又∵DE∥BC，
∴∠CBF=∠DFB，
∴DB=DF即△BDF是等腰三角形，
同理∠ECF=∠EFC，
∴EF=EC，
∴△BDF，△CEF都是等腰三角形；

②在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°-----（1）
在△BFC中∠CFB+∠FBC+∠FCB=180°
即∠CFB+

1

2

∠ABC+

1

2

∠ACB=180°----（2）
（2）×2-（1）得②∠BFC=90°+

1

2

∠BAC；

③∵①△BDF，△CEF都是等腰三角形
∴BD=DF，EF=EC，
△ADE的周长=AD+DF+EF+AE=AD+BD+AE+EC=AB+AC；

④∵F是∠ABC，∠ACB的平分线的交点
∴第三条平分线必过其点，即AF平分∠BAC．
故选C．