Question

如图，等边△ABC的边长为12cm，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE=4cm，若点F从点B开始以2cm/s的速度沿射

如图，等边△ABC的边长为12cm，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE=4cm，若点F从点B开始以2cm/s的速度沿射线BC方向运动，设点F运动的时间为t秒，当t＞0时，直线FD与过点A且平行于BC的直线相交于点G，GE的延长线与BC的延长线相交于点H，AB与GH相交于点O．（1）设△EGA的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（2）在点F运动过程中，试猜想△GFH的面积是否改变？若不变，求其值；若改变，请说明理由；（3）请直接写出t为何值时，点F和点C是线段BH的三等分点．

Answer 1

解答：解：（1）作EM⊥GA，垂足为M．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°．
∵GA∥BC，
∴∠MAE=60°．
∵AD=AE=4，
∴ME=AE?sin60°=2

3

，BD=AB-AD=8，
又GA∥BH，
∴△AGD∽△BFD，
∴

AG

BF

=

AD

BD

=

1

2

，
又∵BF=2t，
∴AG=t．
∴S=

3

t．

（2）猜想：不变．
∵AG∥BC，
∴△AGD∽△BFD，△AGE∽△CHE，
∴

AG

BF

=

AD

BD

，

AG

CH

=

AE

EC

，
∴

AD

BD

=

AE

EC

，
∴

AG

BF

=

AG

CH

，
∴BF=CH．
情况①：0＜t＜6时，
∵BF=CH，
∴BF+CF=CH+CF，
即：FH=BC；
情况②：t=6时，有FH=BC；
情况③：t＞6时，
∵BF=CH，
∴BF-CF=CH-CF，
即：FH=BC．
∴S_△GFH=S_△ABC=36

3

．
综上所述，当点F在运动过程中，△GFH的面积为36

3

cm²．

（3）∵BC=FH，∴BF=CH．
①当点F在线段BC边上时，若点F和点C是线段BH的三等分点，则BF=FC=CH．
∵BC=12，∴BF=FC=6，
又∵点F的运动速度为2cm/s，
∴t=3．
∴当t=3时，点F和点C是线段BH的三等分点；
②当点F在BC的延长线上时，若点F和点C是BH的三等分点，则BC=CF=FH．
∵BC=12，∴CF=12，∴BF=24，
又∵点F的运动速度为2cm/s，
∴t=12．
∴当t=12时，点F和点C是线段BH的三等分点；
综上可知：当t=3s或12s时，点F和点C是线段BH的三等分点．