Question

如图，椭圆E： 的左焦点为F 1 ，右焦点为F 2 ，离心率e= ，过F 1 的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF 2

如图，椭圆E： 的左焦点为F 1 ，右焦点为F 2 ，离心率e= ，过F 1 的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF 2 的周长为8。 （1）求椭圆E的方程。（2）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相较于点Q，试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

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Answer 1

解：（1）∵过F 1 的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF 2 的周长为8 ∴4a=8， ∴a=2 ∵e=  ， ∴c=1 ∴b 2 =a 2 -c 2 =3 ∴椭圆E的方程为  。 （2）由 ，消元可得（4k 2 +3）x 2 +8kmx+4m 2 -12=0 ∵动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x 0 ，y 0 ） ∴m≠0，△=0， ∴（8km） 2 -4×（4k 2 +3）×（4m 2 -12）=0 ∴4k 2 -m 2 +3=0① 此时x 0 = = ，y 0 = ， 即P（ ， ） 由 得Q（4，4k+m） 取k=0，m= ，此时P（0， ），Q（4， ）， 以PQ为直径的圆为（x-2） 2 +（y- ） 2 =4，交x轴于点M 1 （1，0）或M 2 （3，0） 取k= ，m=2，此时P（1， ），Q（4，0）， 以PQ为直径的圆为（x- ） 2 +（y- ） 2 = ，交x轴于点M 3 （1，0）或M 4 （4，0） 故若满足条件的点M存在，只能是M（1，0）， 证明如下∵ ∴ 故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M（1，0）。