(2014?红桥区二模)如图,已知二次函数y=ax2+bx+8(a≠0)的图象与x轴交于点A(-2,0),B,与y轴交于点
(2014?红桥区二模)如图,已知二次函数y=ax2+bx+8(a≠0)的图象与x轴交于点A(-2,0),B,与y轴交于点C,tan∠ABC=2.(1)求抛物线的解析式及...
(2014?红桥区二模)如图,已知二次函数y=ax2+bx+8(a≠0)的图象与x轴交于点A(-2,0),B,与y轴交于点C,tan∠ABC=2.(1)求抛物线的解析式及其顶点D的坐标;(2)设直线CD交x轴于点E.在线段OB的垂直平分线上是否存在点P,使得经过点P的直线PM垂直于直线CD,且与直线OP的夹角为75°?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)过点B作x轴的垂线,交直线CD于点F,将抛物线沿其对称轴向上平移,使抛物线与线段EF总有公共点.试探究:抛物线最多可以向上平移多少个单位长度?
展开
1个回答
展开全部
解:(1)由抛物线的解析式知,点C(0,8),即 OC=8;
Rt△OBC中,OB=OC?tan∠ABC=8×
=4,则 点B(4,0).
将A、B的坐标代入抛物线的解析式中,得:
,解得
,
∴抛物线的解析式:y=-x2+2x+8=-(x-1)2+9,顶点D(1,9);
(2)设直线CD的解析式为:y=kx+8,
将点D坐标代入上式,得:k=1;
∴直线CD:y=x+8,点E(-8,0).
∴OC=OE=8,∠CEB=45°.
在四边形EMPN中(如右图),∠MPN=180°-∠CEB=135°(∠PME、∠PNO都是直角),
①当∠OPM=75°时,∠OPN=135°-75°=60°;
在Rt△OPN中,ON=
OB=2,PN=
;
②当∠OPQ=75°时,∠OPN=135°+75°-180°=30°,
在Rt△OPN中,ON=
OB=2,PN=2
;
综上,存在符合条件的P点,且坐标为 (2,
Rt△OBC中,OB=OC?tan∠ABC=8×
1 |
2 |
将A、B的坐标代入抛物线的解析式中,得:
|
|
∴抛物线的解析式:y=-x2+2x+8=-(x-1)2+9,顶点D(1,9);
(2)设直线CD的解析式为:y=kx+8,
将点D坐标代入上式,得:k=1;
∴直线CD:y=x+8,点E(-8,0).
∴OC=OE=8,∠CEB=45°.
在四边形EMPN中(如右图),∠MPN=180°-∠CEB=135°(∠PME、∠PNO都是直角),
①当∠OPM=75°时,∠OPN=135°-75°=60°;
在Rt△OPN中,ON=
1 |
2 |
2
| ||
3 |
②当∠OPQ=75°时,∠OPN=135°+75°-180°=30°,
在Rt△OPN中,ON=
1 |
2 |
3 |
综上,存在符合条件的P点,且坐标为 (2,
2
|