Question

已知抛物线C：y＝12x2与直线l：y=kx-1没有公共点，设点P为直线l上的动点，过P作抛物线C的两条切线，A，B

已知抛物线C：y＝12x2与直线l：y=kx-1没有公共点，设点P为直线l上的动点，过P作抛物线C的两条切线，A，B为切点．（1）证明：直线AB恒过定点Q；（2）若点P与（1）中的定点Q的连线交抛物线C于M，N两点，证明：|PM||PN|＝|QM||QN|．

Answer 1

（1）设A（x₁，y₁），则y₁=

1

2

x12．
由y＝

1

2

x2得y′=x，所以y′|x＝x1＝x1．
于是抛物线C在A点处的切线方程为y-y₁=x₁（x-x₁），即y=x₁x-y₁．
设P（x₀，kx₀-1），则有kx₀-1=x₀x₁-y₁．设B（x₂，y₂），同理有kx₀-1=x₀x₂-y₂．
所以AB的方程为kx₀-1=x₀x-y，即x₀（x-k）-（y-1）=0，所以直线AB恒过定点Q（k，1）．
（2）PQ的方程为y=

kx0?2

x0?k

（x-k）+1，与抛物线方程y＝

1

2

x2联立，消去y，得
x²-

2kx0?4

x0?k

x+

2kx0?4

x0?k

=0
设M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），则x₃+x₄=

2kx0?4

x0?k

，x₃x₄=

(2k2?2)x0?2k

x0?k

①
要证

|PM|

|PN|

=

|QM|

|QN|

，只需证明

x3?x0

x4?x0

＝

k?x3

x4?k

，即2x₃x₄-（k+x₀）（x₃+x₄）+2kx₀=0②
由①知，②式
左边=

2(2k2?2)x0?4k

x0?k

-（x+x₀）

2kx0?4

x0?k

+2kx₀
=

2(2k2?2)x0?4k?(k+x0)(2kx0?4)+2kx0(x0?k)

x0?k

=0．
故②式成立，从而结论成立．