Question

设函数y=f(x)定义在R上，当x>0时f(x)>1,且对于任意实数a,b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)判断f(x)在R上的单调性

Answer 1

假如f(0)=0，则对任意x，有f(x)=f(x+0)=f(0)f(x)=0，不符合题意，即f(0)不等于0。

即a=b=0，则f(a+b)=f(0)=f(0)f(0)，即f(0)=1。

当x>0时，f(x)>1>0

当x<0时，-x>0、f(x-x)=f(0)=f(x)f(-x)=1、f(x)=1/f(-x)>0

所以，对任意x，都有f(x)>0

设x1<x2，则x2-x1>0、f(x2-x1)>1

f(x2)/f(x1)=f(x2)f(-x1)=f(x2-x1)>1

所以，f(x2)>f(x1)

因此，f(x)在R上单调递增。

.

Answer 2

f(a+b)=f(a)f(b)=f(a+b-b)f(b)=f(a+b)f(-b)f(b);得出f(-b)f(b)=1.
f（x）=1/f(-x),
当x大于0时，f（x）>1;
当x=0时，a、b都为0带入得f（0）=f（0）f（0），得f（0）=1；
当x>0时f(x)>1和f（x）=1/f(-x),可知当x>0时0<f(-x)<1即当x<0时，函数取值范围为（0，1）
求导，f'(x)=1/f(-x)*2(分母是f（-x）的平方) >0,
所以函数y在R上单调递增.

Answer 3

f(1+0)=f(1)*f(0),f(1)>,1,所以f(0)=1;
任意取x<0,-x>0,有f(-x)>0,则f(0)=f(x-x)=f(x)*f(-x),所以f(x)=f(0)/f(-x)=1/f(-x)>0；
所以对于任意的X∈R,f(x)>0
取任意a,b,不妨令a<b,f(b-a)>1,则f(b)-f(a)=f(b-a+a)-f(a)=f(b-a)f(a)-f(a)=f(a)[f(b-a)-1]>0，
所以f(x)在R上单调递增