Question

如图，已知在△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧AC上的点（不与A，C重合），延长BD至E．（1）求证：AD的

如图，已知在△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧AC上的点（不与A，C重合），延长BD至E．（1）求证：AD的延长线平分∠CDE；（2）若∠BAC=30°，且△ABC底边BC边上高为1，求△ABC外接圆的周长．

Answer 1

（1）证明：如图，设F为AD延长线上一点， ∵A，B，C，D四点共圆， ∴∠CDF=∠ABC， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∵∠ADB=∠ACB， ∴∠ADB=∠CDF， ∵∠ADB=∠EDF（对顶角相等）， ∴∠EDF=∠CDF， 即AD的延长线平分∠CDE． （2）设O为外接圆圆心，连接AO比延长交BC于H，连接OC， ∵AB=AC， ∴ AB = AC ， ∴AH⊥BC， ∴∠OAC=∠OAB= 1 2 ∠BAC= 1 2 ×30°=15°， ∴∠COH=2∠OAC=30°， 设圆半径为r， 则OH=OC?cos30°= 3 2 r， ∵△ABC中BC边上的高为1， ∴AH=OA+OH=r+ 3 2 r=1， 解得：r=2（2- 3 ）， ∴△ABC的外接圆的周长为：4π（2- 3 ）．