Question

m，n均为正整数，若关于x的方程4x 2 -2mx+n=0的两个实数根都大于1，且小于2，求m，n的值

m，n均为正整数，若关于x的方程4x 2 -2mx+n=0的两个实数根都大于1，且小于2，求m，n的值．

Answer 1

设f（x）=4x 2 -2mx+n， ∵关于x的方程4x 2 -2mx+n=0有两个实数根， ∴△=（2m） 2 -16n≥0， ∴m 2 ≥4n， ∵此二次函数的开口向上，关于x的方程4x 2 -2mx+n=0的两个实数根都大于 1，且小于2（如草图）， ∴f（1）=4-2m+n＞0，f（2）=16-4m+n＞0， 设方程4x 2 -2mx+n=0两根为x 1 ，x 2 ， 由韦达定理知：x 1 +x 2 = m 2 ，x 1 x 2 = n 4 ， ∵x 1 ，x 2 都大于1，且小于2， ∴2＜ m 2 ＜4，1＜ n 4 ＜4， ∴4＜m＜8，4＜n＜16， ∵m，n均为正整数， ∴（1）当m=5，由m 2 -4n≥0，得n=5或6，但均不满足4-2m+n＞0， ∴m≠5； （2）当m=6，由m 2 -4n＞0得n=5，6，7，8，9， ∵n，5，6，7，8不满足4-2m+n＞0，16-4m+n＞0， ∴n=9； （3）当m=7，由m 2 -4n≥0得n=5，6，7，8，9，10，11，12． ∵n=5，6，7，8，9，10，11，12不满足4-2m+n＞0，16-4m+n＞0， ∴此时无解； ∴m=6，n=9．