Question

（2013?连云港模拟）如图，菱形ABCD中，AB=AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE=BF，连接CE、AF交于点H

（2013?连云港模拟）如图，菱形ABCD中，AB=AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE=BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AC于点O．（1）求证：△ABF≌△CAE；（2）HD平分∠AHC吗？为什么？

Answer 1

（1）证明：∵ABCD为菱形，
∴AB=BC．
∵AB=AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠CAB=60°，
在△ABF和△CAE中，

AE＝BF ∠B＝∠CAB AB＝AC

，
∴△ABF≌△CAE（SAS）；

（2）答：HD平分∠AHC．
理由如下：过点D作DG⊥CH于点G，作DK⊥FA交FA的延长线于点K，
∵△ABF≌△CAE，
∴∠BAF=∠ACE，
∵∠ACE+∠FCE=60°，
∴∠BAF+∠FCE=60°，
∴∠AHC=∠AFC+∠HCF=∠B+∠BAF+∠BCE=120°，
∵∠ADC=60°，
∴∠HAD+∠HCD=180°，
∵∠HAD+∠KAD=180°，
∴∠HCD=∠KAD，
在△ADK和△CDG中，

∠HCD＝∠KAD ∠DGC＝∠AKD＝90° AD＝CD

，
∴△ADK≌△CDG（AAS），
∴DK=DG，
∵DG⊥CH，DK⊥FA，
∴HD平分∠AHC．