Question

如图，通过△ABC内部一点Q引平行于三角形三边的直线，这些直线分三角形为六个部分，已知三个平行四边形部

如图，通过△ABC内部一点Q引平行于三角形三边的直线，这些直线分三角形为六个部分，已知三个平行四边形部分的面积为S 1 ，S 2 ，S 3 ，求△ABC的面积．

Answer 1

设S △QDG =S′ 1 ，S △QIE =S′ 2 ，S △QFH =S′ 3 ，则 1 2 S 1 S′ 2 =S △QCE = CE EI = QF EI = S′ 3 S′ 2 ， 所以S′ 2 S′ 3 = 1 4 S 21 ① 同理可得S′ 1 S′ 2 = 1 4 S 23 ，② S′ 3 S′ 1 = 1 4 S 22 ，③ 从①，②，③中可以解得 S′ 1 = S 2 S 3 2 S 1 ，S′ 2 = S 3 S 1 2 S 2 ，S′ 3 = S 1 S 2 2 S 3 ． 所以S △ABC =S 1 +S 2 +S 3 = S 2 S 3 2 S 1 + S 3 S 1 2S 2 + S 1 S 2 2S 3 ． 答：△ABC的面积是 S 2 S 3 2 S 1 + S 3 S 1 2S 2 + S 1 S 2 2S 3 ．