Question

如图 已知弧AB=弧AC=弧BC，点P为劣弧BC上的一点 ①求∠BPC的度数 ②求证PA=PB+PC

要写全过程

Answer 1

1、解
∵弧AB=弧AC=弧BC
∴AB＝AC＝BC
∴等边△ABC
∴∠BAC＝60
∵A、B、P、C四点共圆
∴∠BPC+∠BAC＝180
∴∠BPC＝180-∠BAC＝120°
2、证明：在AP上取点D，使BP＝PD
∵等边△ABC
∴∠ACB＝∠ABC＝60，AB＝BC
∵∠ABD、∠ACB所对应圆弧都为劣弧AB
∴∠ABD＝∠ACB＝60
∵BP＝PD
∴等边△BPD
∴∠PBD＝60，BP＝BD
∴∠PBC＝∠PBD-∠CBD＝60-∠CBD
∵∠ABD＝∠ABC-∠CBD＝60-∠CBD
∴∠PBC＝∠ABD
∴△ABD≌△CBP （SAS）
∴AD＝PC
∵PA＝AD+PD
∴PA＝PB+PC

Answer 2

（1）解：因为弧AB=弧AC=弧BC
所以AB=BC=AC
所以三角形ABC是正三角形
所以角BAC=60度
因为角BAC+角BPC=180度
所以角BPC=120度
（2）证明：在PA上截取PE=PB
因为角ACB=角APB=60度
所以三角形PBE是正三角形
所以PB=BE
角PBE=角PBC+角CBE=60度
因为三角形ABC是正三角形（已证）
所以AB=BC
角ABC=角ABE+角CBE=60度
所以角PBC=角ABE
所以三角形ABE和三角形BPC（SAS)
所以AE=PC
因为PA=PE+AE
所以PA=PB+PC

Answer 3

①∠BPC=120º
∵弧AB=弧AC=弧BC
∴AB=AC=BC
∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB=60º
∵四边形ABPC内接于圆
∴∠BPC＋∠BAC＝180º
∴∠BPC=180º-∠BAC=120º
②在BP的延长线上截取PQ=PC,连接CQ
∵∠CPQ=60º
∴⊿CPQ是等边三角形
∴∠BQC=60º
∵∠APC=1/2AC弧的度数=60º
∴∠APC＝∠BQC
又∵∠CAP＝∠CBQ,AC=BC
∴⊿ACP≌⊿BCQ
∴PA=QB
∵QB=PB+PQ,PQ=PC
∴PA=PB+PC

Answer 4

∠BPC=120