Question

如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°， △ABD是等边三角形，E是AB的中点，连结CE并延长交AD于F. （

如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°， △ABD是等边三角形，E是AB的中点，连结CE并延长交AD于F. （1）求证：① △AEF≌△BEC；② 四边形BCFD是平行四边形；（2）如图11，将四边形ACBD折叠，使D与C重合，HK为折痕，求sin∠ACH的值.

Answer 1

（1）① 在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°, ∴ ∠ABC=60°. 在等边△ABD中，∠BAD=60°, ∴ ∠BAD=∠ABC=60° . ∵ E为AB的中点， ∴ AE=BE. 又∵ ∠AEF=∠BEC , ∴ △AEF≌△BEC ； ② 在△ABC中，∠ACB=90°，E为AB的中点 ∴ CE= AB   BE= AB， ∴ ∠BCE=∠EBC=60° . 又∵ △AEF≌△BEC, ∴ ∠AFE=∠BCE=60° . 又∵ ∠D=60°, ∴ ∠AFE=∠D=60° . ∴ FC∥BD 又∵ ∠BAD=∠ABC=60°， ∴ AD∥BC，即FD∥BC ∴ 四边形BCFD是平行四边形； （2）∵∠BAD=60°，∠CAB=30° ∴∠CAH=90° 在Rt△ABC中，∠CAB=30°，设BC =a ∴ AB=2BC=2a， ∴ AD=AB=2a. 设AH = x ，则 HC=HD=AD-AH=2a-x. 在Rt△ABC中，AC 2 =(2a) 2 -a 2 =3a 2 . 在Rt△ACH中，AH 2 +AC 2 =HC 2 ，即x 2 +3a 2 =(2a-x) 2 . 解得 x= a，即AH= a.