Question

如图,已知E是正方形ABCD的边CD的中点,点F在BC上,且∠DAE=∠FAE.求证:AF=AD+CF

请用因为所以或∵∴来写！谢谢！如要做辅助线，请把图亮出来！谢谢！

Answer 1

解：已知：ABCD是正方形，点E是边CD的中点，∠DAE=∠FAE
做辅助线EG垂直于AF，点G在AF上，则EG是△AEF的高
因为：△ADE和△AEG，AE=AE，∠DAE=∠FAE，∠AGE=∠ADE=90°
所以：，∠AEG=∠AED，在直角三角形中一边和两角相等，两个三角形全等
所以：△ADE和△AEG全等
所以：AD=AG，DE=EG
点E是CD中点，则DE=EC
所以：DE=EC=EG，
在△EGF和△ECF中EC=EG，EF=EF，∠EGF=∠ECF=90°
在直角三角形中两边相等，那么两个三角形全等。
得到：△EGF和△ECF，所以：GF=CF
AF=AG+GF=AD+CF

Answer 2

过E做EG⊥AF于G，连接EF
∵ABCD是正方形
∴∠D=∠C=90°
AD=DC
∵∠DAE=∠FAE，ED⊥AD，EG⊥AF
∴DE=EG
AD=AG
∵E是DC的中点
∴DE=EC=EG
∵EF=EF
∴Rt△EFG≌Rt△ECF
∴GF=CF
∴AF=AG+GF=AD+CF

Answer 3

延长AE交BC的延长线于G点，连接BE
因为ABCD为正方形，所以，AB=BC=CD=AD，角GCE=角ABC=90度，CE平行AB
所以三角形GCE与三角形GAB相似，三角形AED与三角形BCE相等，
则角DAE=角EBC=角EAF
所以三角形ACG为等腰三角形，所以AF=FG=FC+CG
因为E为CD中点
所以CE=CD/2，CG=BG/2=BC
所以AF=FG=FC+CG=FC+AD

Answer 4

过E做EG⊥AF于G，连接EF
∵ABCD是正方形
∴∠D=∠C=90°
AD=DC
∵∠DAE=∠FAE，ED⊥AD，EG⊥AF
∴DE=EG
AD=AG
∵E是DC的中点
∴DE=EC=EG
∵EF=EF
∴Rt△EFG≌Rt△ECF
∴GF=CF
∴AF=AG+GF=AD+CF

Answer 5

∵ABCD是正方形
∴∠D=∠C=90°
AD=DC
∵∠DAE=∠FAE，ED⊥AD，EG⊥AF
∴DE=EG
AD=AG
∵E是DC的中点
∴DE=EC=EG
∵EF=EF
∴Rt△EFG≌Rt△ECF
∴GF=CF
∴AF=AG+GF=AD+CF