Question

一道高中数学函数题！

已知函数f（x）=a（x＾2）＋（a＾2）x＋2b－a＾3，当x∈（－∞，－2）∪（6，＋∞）时，f（x）＜0；当x∈（－2，6）时，f（x）＞0。
（1）求a ，b的值。
（2）设F(x)=－k/4×f(x)＋2(6k－1),则当k取何值时，函数F(x)的值恒为负数？

Answer 1

因为：当x∈（－∞，－2）∪（6，＋∞）时，f（x）＜0；当x∈（－2，6）时，f（x）＞0，可知a>0,-2和6是函数与x轴的两个交点，根据韦达定理
-2+6=-a^2/a (1)
-2x6=(2b-a^3)/a (2)
由（1）得 a=-4
(1)代入（2）得 b=-8

(2)F(x)=－k/4×f(x)＋2(6k－1)=(-k/4)[-4x^2+16x+48]+12k-2=kx^2-4kx-2
当k=0时，F(x)=-2 符合函数值恒为负的条件
当k不等于0时，要使二次函数对任意实数x都有值小于0，只有k<0,且判别式△<0
即 （-4k)^2+8k<0
2K^2+k<0
k(2k+1)<0
-1/2<k<0
综上，k的取值范围是-1/2<k<=0

Answer 2

（1）当x∈（－∞，－2）∪（6，＋∞）时，f（x）＜0；当x∈（－2，6）时，f（x）＞0
可知f（x）抛物线的开口向下a小于0
将x=-2，x=6代入F（x）则F（x）=0，且x=2为抛物线的对称轴，则-（a＾2）/2a=2,
a=-4,b=0

追问

朋友，第二问呢？

追答

F(x)=－k/4×f(x)＋2(6k-1), f(x
)代入其中 化简F(x)=k x＾2 +2kx -4k+2的值要一直为负数
首先k为负数，F（x）的对称轴为X=-1
-1代入F(x)=k-2k-4k+2小于0

追问

sorry，有人先对了

Answer 3

a=-4,b=4,k的范围为0<=k<-1/6

Answer 4

解：（1）由题意可知f(x)图像开口向下，两个根为x1=-2，x2=6
故可列两个方程 a（（-2）＾2）＋（a＾2）（-2）＋2b－a＾3=0
a（6＾2）＋6（a＾2）＋2b－a＾3=0 同时a<0;
联立解得：a=0，b=0（舍去）；a=-4，b=-8
即 a=-4，b=-8
（2）F（x）=k x^2-4 k x-2 由题意可知F(x)图像开口向下，即k<0
b^2-4ac<0 即（-4k）^2-4k(-2)=16k^2+8k<0 即k（2k+1）<0
解得：-(1/2) <k<0
故 -(1/2) <k<0