Question

Sn=1³+2³+3³+4³+5³……+n³=？

这个式子怎么推出来？
可以用数学归纳法。

Answer 1

1^3=1^2
1^3+2^3=9=3^2=(1+2)^2
1^3+2^3+3^3=36=6^2=(1+2+3)^2
1^3+2^3+3^3+...+n^3=(1+2+3+...+n)^2
所以Sn=[n(n+1)/2]^2

追问

这样可以吗？

追答

（1）当n=1的时候，等式成立；
（2）假设n=k时，等式也成立，即，1^3+2^3+3^3+4^3+……+k^3=(1+2+3+……+k)^2；
（3）当n=k+1时，等式左边=1^3+2^3+3^3+4^3+……+k^3+(k+1)^3=1+2+3+……+k)^2+(k+1)^3=1+2+3+……+k)^2+(k+1)^2+k(k+1)^2
而等式右边=1+2+3+……+k+k+1)^2=1+2+3+……+k)^2+(k+1)^2+2(k+1)(1+2+3+……+k)
故只需证明2(k+1)(1+2+3+……+k)=k(k+1)^2
因为2(k+1)(1+2+3+……+k)=2(k+1).k(k+1)/2=k(k+1)^2
可见1^3+2^3+3^3+4^3+……+N^3=(1+2+3+……+N)^2