Question

如图，D是BC上的中点，AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC，求证EF=2AD，AD⊥EF

如图，D是BC上的中点，AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC，求证EF=2AD，AD⊥EF
大概考察的是等腰三角形和等边三角形

Answer 1

延长AD，使DM=AD，连接BM
∠BAE=∠CAF=90
所以，∠EAF+∠BAC=180
∠EAF=180-∠BAC
又，AD=DM,∠BDM=∠ADC ,BD=DC
△BDM≌△ACD(SAS)
所以，BM=AC,∠BMD=∠CAD
因∠BAC=∠CAD+∠BAD，∠BMD=∠CAD
所以∠BAC=∠BMD+∠BAD
∠ABM=180-(∠BMD+∠BAD)=180-∠BAC
∠ABM=180-∠BAC
又∠EAF=180-∠BAC
所以∠EAF＝∠ABM
AE=AB,∠EAF＝∠ABM,AF=AC=BM
△AEF≌△ABM(SAS)
所以，EF=AM
因AM=AD+DM=2AD , (AD+DM)
即有，EF=2AD
2)延长DA交EF于N
△AEF≌△ABM(SAS)
所以，∠AEF＝∠BAD
又，∠BAE＝90,
所以，∠EAN+∠BAD＝90
因∠AEF＝∠BAD
所以∠EAN+∠AEF＝90
即有，∠ANE=180-(∠EAN+∠AEF)=180-90=90
∠ANE=90
故，AD⊥EF