Question

已知圆C:x^2+y^2+bx+ay-3=0(a,b为正实数)上任意一点关于直线L:x+y+2=0的对称点都在园C上，则1/a+3/b的...

已知圆C:x^2+y^2+bx+ay-3=0(a,b为正实数)上任意一点关于直线L:x+y+2=0的对称点都在园C上，则1/a+3/b的最小值为？我已经知道答案，我要的是过程越细越好

Answer 1

显然由题意知直线L过圆C的圆心（-b/2,-a/2)，代入得a+b=4,则1/a+3/b=1/4（a+b）（1/a+3/b）=1/4（1+3a/b+b/a+3）≥1/4（4+2√3）
由此得最小值

Answer 2

郭敦顒回答：
圆C:x^2+y^2+bx+ay-3=0(a,b为正实数)的圆心Q在直线L:x+y+2=0上。
∵x+y+2=0，∴ y=―x―2。与X轴的交点为A（－2，0），与Y轴的交点为B（0，－2）
Y

L

A （0，－1）
O X
（－3，0） Q （1，0）
（－1，－1）
B
（0，－3）

:x^2+y^2+bx+ay-3=0
当y=0时，:x^2+ bx -3=0的2根x1与x2则有
X2＜－2，0＜x1，x1x2=－3，x1+x2=－b，
3/b取最小值，则b取最大值，b=|－2|=2，
此时，x1=1，x2=－3。
同理a取最大值，a =|－2|=2，
于是，1/a+3/b=2
圆心Q在AB中点上，半径R=√2

Answer 3

【1】L必须过圆心，这个你应该明白吧？
【2】然后 x^2+y^2+bx+ay-3=0 表示一个圆，那么圆心就是 （-b/2,-a/2) ，
半径平方= -（x^2+y^2）/4+3，这个值必须大于零
【3】将圆心代入直线，得a+b=4
【4】根据柯西不等式（a+b）（1/a+3/b) 》（1+√3）^2，即4+2√3，当且仅当3a/b=b/a时取等号，综合a+b=4，解得a=1，b=3，且符合【2】中条件
综上，最小值为 2
【二维柯西不等式】 (a^2+b^2)(c^2+d^2) 》(ac+bd)^2 当且仅当ad=bc时取等号

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