Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，边长是a，PD=a，PA=PC= 根号2倍的a，

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，边长是a，PD=a，PA=PC= 根号2倍的a， 1）证明：PD⊥平面ABCD；（2）求点A到平面PBD的距离；（3）求二面角A-PB-D的大小．
（4）证：面PAC⊥面PBD；（5）求二面角P-BC-D的大小

Answer 1

1、底面ABCD是正方形，AB=BC=CD=AD=a,
PD=a，AD^2+PD^2=2a^2,AP^2=2a^2,
根据勾股逆定理，
△APD是RT△，
同理△PCD是RT△，
AD∩CD=D，
∴PD⊥平面ABCD。
2、连结底面对角线AC、BD，
则AC⊥BD，
由前所述，PD⊥平面ABCD，
∴PB⊥AC。
∴AC⊥平面PBD
∴点A到平面PBD的距离=AC/2=√2a/2
3、过PB中点F作FO⊥底面ABCD，垂足O，则O是对角线AC和BD交点，连结AF，
PB=√3a,则〈PAB=90度，〈PCB=90度，
S△PAB=√2a*a/2=√2a^2/2,
S△FAB==√2a^2/4,
S△FOB=S△PBD/4=√2a*a/2/4=√2a*a/8,
设二面角A-PB-D平面角为θ，
S△FOB=S△FAB*cosθ,
cosθ==(√2a*a/8)/(√2a^2/4)=1/2,
θ=60度。
二面角A—PB—D为60度。
4、由第2小题回答中可知 ：AC⊥平面PBD
所以平面PAC⊥平面PBD
5、PD⊥平面ABCD，故PD⊥BC
因为CD⊥BC，故BC⊥平面PCD
所以BC⊥PC
所以二面角P-BC-D的大小=角PCD=45°

Answer 2

1、
底面ABCD是正方形，AB=BC=CD=AD=a,
PD=a，AD^2+PD^2=2a^2,AP^2=2a^2,
根据勾股逆定理，
△APD是RT△，
同理△PCD是RT△，
AD∩CD=D，
所以PD⊥平面ABCD。

2.
因为 ABCD为正方形
所以AC⊥BD，
又PD⊥平面ABCD，
所以PB⊥AC。
所以AC⊥平面PBD
所以点A到平面PBD的距离=AC/2=√2a/2

3、
过PB中点F作FO⊥底面ABCD，垂足O，则O是对角线AC和BD交点，连结AF，
PB=√3a,则〈PAB=90度，〈PCB=90度，
S△PAB=√2a*a/2=√2a^2/2,
S△FAB==√2a^2/4,
S△FOB=S△PBD/4=√2a*a/2/4=√2a*a/8,
设二面角A-PB-D平面角为θ，
S△FOB=S△FAB*cosθ,
cosθ==(√2a*a/8)/(√2a^2/4)=1/2,
θ=60度。
二面角A—PB—D60为度

4.
因为AC⊥平面PBD
所以平面PAC⊥平面PBD

5、
因为PD⊥平面ABCD，
所以PD⊥BC
因为CD⊥BC，
所以BC⊥平面PCD
所以BC⊥PC
所以二面角P-BC-D的大小=角PCD=45°

Answer 3

1.证明；因为四边形ABCD是正方形
所以CD=a,
因为PC=根号2倍a PD=a
根据勾股定理PC平方-PD平方=DC平方
所以PD丄平面ABcD
2.解； 因为四边形ABcD是正方形
所以角ABc=90度 AB=BC=a
有勾股定理的 Ac=根号2倍a
所以OA=2分之根号2倍a
3.j解； 做AE丄PB，连接DE
在△PBD中，PB=√(PD^2+BD^2)=√3a
DE=PD*PD/PB=√3a/3
PE=√(PD^2-DE^2)=√6a/3
AE=√(PA^2-PE^2)=√6a/3
cosAED=(AE^2+DE^2-AD^2)/(2AE*DE)=√2/2
∠AED=45°

Answer 4

1）PA=PC= 根号2倍的a，AD=DC=PD=a

=> 三角形PDA、PDC是直角三角形 即，PD⊥AD、PD⊥DC
=> PD⊥平面ABCD

2）PD⊥平面ABCD => PD⊥AO 且AO⊥DB => AO⊥平面PDB

所以点A到平面PBD的距离，就是AO的长度 AO=根号(a/2)

3）过A做PB的垂线，交PB于E，连接OE，则OE⊥PB

AO=根号(a/2)，PA=根号(2a)，PB=根号(3a)
=> AE=PA*AB/PB=根号(2a/3)
=> sinOEA=AO/AE=根号(3)/2 => 角OEA=60度
即 二面角A-PB-D=60度

Answer 5

解：（1）PC=√2a，PD=PC=a，∴△PDC是Rt△，且PD⊥DC，
同理PD⊥AD，又AD∩DC=D，∴PD⊥平面ABCD．
（2）连BD，因ABCD是正方形，∴BD⊥AC，又PD⊥平面ABCD．
BD是PB在面ABCD上的射影，由三垂线定理得PB⊥AC，∴PB与AC成90°角．
（3）设AC∩BD=O，作AE⊥PB于E，连OE，
∵AC⊥BD，又PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PD⊥AC，
又PD∩BD=D，∴AC⊥平面PDB，则OE是AE在平面PDB上的射影．
由三垂线定理逆定理知OE⊥PB，∴∠AEO是二面角A-PB-D的平面角．
又AB=a，PA=√2a，PB=√3a，∵PD⊥平面ABCD，DA⊥AB，
∴PA⊥AB，在Rt△PAB中，AE•PB=PA•AB．∴AE(√2/√3 )a，又AO=(√2/2)a
∴sinAEO=AO OE =√3/2 ，∠AEO=60°，二面角A-PB-D的大小为60°．