Question

帮忙解一道初中数学题，要有具体的解法过程。

当抛物线y=ax^2+bx+c与X 轴两交点及抛物线上一点P组成以P为直角顶点的直角三角形时，则点P的坐标（ ）
A. 只与a有关； B. 只与b有关； C. 只与c有关； D.与a、b、c均有关。
本题来源于余姚市2012年初中毕业生学业考试模拟考数学试题卷，参考答案是A。请给出推理过程并写出点P的坐标，谢谢！

Answer 1

设抛物线与x轴的交点A(x1,0) B(x2,0) 抛物线上一点P(x0,y0)
因为直角，直线AC，直线BC的斜率积为-1
k1*k2=-1
(y0/(x0-x1))*(y0/(x0-x2))=-1
化 (x0-x1)*(x0-x2)+y0^2=0
展开 x0^2-(x1+x2)*x0+x1*x2+y0^2=0 （**）
A(x1,0) B(x2,0) 是抛物线y=ax^2+bx+c与x轴交点
即x1,x2是方程ax^2+bx+c=0的两个根
韦达定理x1+ x2=-b/a x1*x2=c/a
代入（**） x0^2+b/a*x0+c/a+y0^2=0
两边同时乘以a ax0^2+bx0+c+ay0^2=0 （##）
因为P满足y=ax^2+bx+c
所以y0=ax0^2+bx0+c
所以代入（##）y0+ay0^2=0
y0*(1+ay0)=0
因为P异于A,B，所以y0不为0
所以y0=-1/a

选A 与a有关

追问

点P的横坐标呢？在上面的基础上，再往下解的话，求出x0应与a、b、c均有关！难道题目有误？

Answer 2

简单点来想，其实 设抛物线跟坐标轴的交点是A B ABP构成直角三角形的话， P肯定是在AB为直径的圆上面 ，不难知道 如果P在抛物线顶点 那肯定是等腰三角形， 当是等腰直角三角形的时候 那么就只有一个点， 无论开口向上还是向下， 要构成这个图形只能由抛物线的开口大小决定，抛物线开口大小取决于a的绝对值，另外 如果不是等腰直角三角形，那么就有2个点符合，而且这2个点的纵坐标是一样的。 这其实也是由抛物线的开口大小决定。

这种解法没有计算，但是其实是对抛物线性质的一种理解，抛物线的形状 都是由a决定的，b c 不过是对抛物线的平移，想明白这点，可以不用通过计算就得出答案

另外一条思路就是解析几何的方向，通过韦达定理，斜率公式求出坐标，但这是高中的范畴了

Answer 3

这道题涉及高中数学必修二第三章的斜率，所以推荐答案才让你看不懂
而你是初中生不能用这种方法，我们可以设交点为ab，那么就是Δabp为直角三角形是直角三角形，而p的纵坐标是斜边上的高，而高就与面积和ab有关，而因为是直角三角形的勾股定理，所以两条直角边与ab有关，那么p的纵坐标就与ab有关，而横坐标是是一条直角边和纵坐标组成的直角三角形中，所以还是与ab有关，而ab的大小（可以看做抛物线的开口大小）与a的绝对值有关，所以与a有关 ><有点一派胡言，现在教你应该我们理科最常用也最简单的方法，代特殊值就去，分别让abc改变，到最后可得出p与a有关

Answer 4

抛物线和x有两个交点。这就是图中直角三角形的斜边。换句话说，三角形的斜边只能在x轴上。那么，p点就不可能在x轴上。那么我们可以移动y轴，让三角形的斜边的高在Y轴上。它的坐标会变化。X轴变为0，y轴只与C有关。

追问

与参考答案不符啊！

追答

斜边确定了，那么P点和斜边构成了直角三角形。如果要构成直角三角形，那么点P只能在以斜边为直径的圆上。抛物线和这个圆有可能只有一个交点，那就是抛物线的最低点或者最高点。可能有两个交点。就不是他们的最低点或者最高点了。这种解法没有计算，但是其实是对抛物线性质的一种理解，抛物线的形状 都是由a决定的，b c 不过是对抛物线的平移，想明白这点，可以不用通过计算就得出答案。BC管平移，形状由A决定。你明白了吗？斜边确定，哪些点才可以和斜边构成直角三角形，忘了这个了。或者三个点，或者四个点。都有可能的。对吧。不同的抛物线形状决定了能有几个直角三角形。懂了吗？

Answer 5

P点的纵坐标为-1/a,横坐标倒没有发现什么特别之处
我想选择A；
希望对你有帮助！

追问

P点的纵坐标为-1/a，是怎么来的？

Answer 6

解：求出抛物线与x轴的交点X1,X2,P（m,am^2+bm+c);
(PX1)^2+PX2)^2=(X2-X1)^2