Question

∫(0，π/4) ln(1+tanx) dx 定积分问题

Let y = π/4 - x then dy = -dx
When x = 0，y = π/4，when x = π/4，y = 0
J = ∫(0，π/4) ln(1+tanx) dx
= ∫(π/4，0) ln[1+tan(π/4-y)] -dy
= ∫(0，π/4) ln[1 + (tan(π/4)-tany)/(1+tan(π/4)tany)] dy
= ∫(0，π/4) ln[1 + (1-tany)/(1+tany)] dy
= ∫(0，π/4) ln[(1+tany+1-tany)/(1+tany)] dy
= ∫(0，π/4) [ln(2) - ln(1+tany)] dy /*这一行到
= ln(2) * ∫(0，π/4) dy - J 这一行的转换是为什么！？*/
2J = ln(2) * (π/4-0)
J = (π*ln2)/8
难道 ln(1+tanx)dx=ln(1+tany)dx
是的话 为什么相等?
求解答。谢谢

Answer 1

不是说ln(1+tanx)dx=ln(1+tany)dx这两个一样，这两者不能化等号
而是∫(0，π/4) ln(1+tanx) dx 和对于∫(0，π/4) ln(1+tany) dy
当积分形式一样 而被积函数和对应积分变量一样，对应的积分变量取值一样，那么做出来结果是一样的，因为定积分其实质上是一个数

正如∫(0,1) xdx=1/2 ∫(0,1) ydy=1/2 这两个定积分的结果是一样的