Question

试分析二次函数f(x)=ax^2+bx+c在区间[m,n]上的最值情况

Answer 1

二次函数，则a≠0
二次函数顶点坐标：(-b/2a ，(4ac-b^2)/4a)

a＞0，二次函数开口方向向上
①区间[m,n] 在-b/2a 左侧
则此区间单调递减
即x=m时f（x）有最大值：am^2+bm+c
x=n时f（x）有最小值：bn^2+bn+c
②区间[m,n] 在-b/2a 右侧
则此函数单调递增
即x=m时f（x）有最小值：am^2+bm+c
x=n时f（x）有最大值：bn^2+bn+c
③区间[m,n] 在-b/2a 两侧，m≤-b/2a≤n
即x=-b/2a时f（x）有最小值：，(4ac-b^2)/4a

二次函数关于直线x=-b/2a对称，为了方便说明，定义-b/2a为k
所以
当||m|-|k||＜||n|-|k||时，x=n时f（x）有最大值：bn^2+bn+c
反之：当||m|-|k||＞|n-k|时，x=m时f（x）有最大值：am^2+bm+c
||m|-|k||=||n|-|k||时，x=m或x=n，f(x) 都有最大值……bn^2+bn+c或am^2+bm+c【值是相同的】

a＜0，二次函数开口方向向下
……
【与a＞0时具备相同情况，略】

Answer 2

顶点横坐标为h=-b/(2a),
如果h不在区间[m,n]内, 即h<m 或h>n, 则最大值=max{f(m),f(n)},最小值=min{f(m),f(n)}
如果h在区间[m,n]内，即m=<h<=n
则a>0时，最小值=f(h)，最大值=max{f(m),f(n)}
则a<0时，最大值=f(h)，最小值=min{f(m),f(n)}