Question

已知正项数列｛an｝，a1＝2前n项和为Sn，当n≥2时，sn=2an

1、求数列｛an｝的通项公式
2、记Tn＝1/a1+1/a2+...+1/an（n∈N），试比较Tn与1的大小

Answer 1

1.
S2=a1+a2=2a2、a2=a1=2

n>=3时

an=Sn-S(n-1)=2an-2a(n-1)

an=2a(n-1)

所以，an=a2*2^(n-2)=2^(n-1)(n>=2)

数列{an}的通项公式为：an={2(n=1)、2^(n-1)(n>=2)}。

2.
T1=1/a1=1/2<1

当n>=2时

Tn=1/2+1/2+1/2^2+…+1/2^(n-1)

=1+1/2+1/2^2+…+1/2^(n-1)-1/2

=2-1/2^(n-1)-1/2

=3/2-1/2^(n-1)

>=3/2-1/2

=1

所以，T1<1、T2=1

当n>=3时，Tn>1

.

Answer 2

解：（1）s1=a1=2
s2=2a2=a1+a2有a2=a1=2
s3=2a3=a1+a2+a3有a3=a1+a2=2+2=4
可以得到通项公式：
2， n=1
an={ 2的（n-1）次方，n＞1
（2）当n=1时，T1=1/2＜1
当n2时，T2=1/2+1/2=1
当n＞2时
Tn=1/2+1/2+1/4+........+1/2的n-1次方
=1/2+{(1/2)[1-(1/2)的n-1次方]}/[1-(1/2)]=1/2+1-(1/2)的n-1次方=1+[(1/2)-(1/2)的n-1次方]＞1
注意：n＞2时，（1/2)-(1/2)的n-1次方＞0.

Answer 3

（1）由sn=2an，得sn+1=2an+1
,两式作差，得an+1=2an
所以an=2^n
（2）1/an=(1/2)^n
所以Tn是公比为1/2的等比数列求和，由公式得Tn=1-（1/2）^n <1