Question

如图，P为等边三角形ABC内的一点，角BPC=150度，(1)求证：PA的平方=PB的平方+PC的平方

（2）若P为等边三角形ABC外的一点，角BPC=30度 则（1）中的结论是否成立？请说明理由

Answer 1

证明：
在△ABC外侧(BC的下方)找一点D，使∠DBC=∠ABP且BD=BP 连接BD、BP、CD
∵∠DBC=∠ABP
∴∠ABC=∠PBD=60°
∵BD=BP
∴△BDP是等边三角形
∴∠BPD=60°
∵∠BPC=150°
∴∠CPD=∠BPC-∠BPD=90°
∴PD²+PC²=CD²
△ABP≌△CBD (AB=AC ∠ABP=∠CBD BD=BD)
∴PA=CD PB=PD(△PBD是等边三角形)
代入PD²+PC²=CD² 得
PA²=PB²+PC²

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证：

在△PBC外侧，以PC为边作等边三角形PCD，连接PA，BD

大致思路：AC=BC，∠ACP=∠BCD，PC=DC

得△ACP≌△BCD，→AP=BD

Rt△BPD中，∠BPD=∠BPC+∠CPD=90°

→PB²+PD²=BD² + PC=PD →PB²+PC²=PA²

具体过程：

∵等边三角形ABC中

∴AC=BC（等边三角形各边相等）

∴∠ACB=60°（等边三角形各角60°）

同理，PC=DC=PD，∠CPD=∠PCD=60°

∴∠ACB=∠PCD（等量代换）

∴∠ACB+∠BCP=∠PCD+∠BCP（等式性质）

即∠ACP=∠BCD

在△ACP与△BCD中

AC=BC

∠ACP=∠BCD

PC=DC

∴△ACP≌△BCD（SAS）

∴AP=BD（全等三角形对应边相等）

∵∠BPC=30°

∴∠BPD=∠BPC+∠PCD

=30°+60°

=90°

∴Rt△BPD中，PB²+PD²=BD²（勾股定理）

∴PB²+PC²=PA²（等量代换）