Question

图中{xn}为函数f(x)的定义域内任意收敛于X0的数列这句话是什么意思，求解释，x0是Xn的极限

Answer 1

答：

这个是海涅定理，是非常重要的一个定理了，连接了函数极限和数列极限，其表达方式很多，但是不幸的是，同济这版用了一个非常愚蠢的表达方式！

这里重新给你梳理一下：

1、写成数学表达方式，有可能一一看就明白了：

lim(x→x0) f(x) = A   <=>

&#8704;数列{x(n)}，当满足：lim(n→∞) x(n) = x0，且x(n)≠x0时：

lim(n→∞) f[x(n)] = A

2.说明：

1）数列{x(n)}是任意的，只要满足：f[x(n)]有意义，那么数列{x(n)}没有任何局限;

2) 数列{x(n)}和x0没有任何关系，而且数列中的每一项x(n)都不能等于x0;

3)如果把数列看成以N+为变量的离散函数，那么，

该定理表明：复合函数的极限具有传递性！

lim(x→x0) f(x) =A <=> lim(t→t0)g(t)=x0, lim(t→t0) f[g(t)] =A

上述定理非常有用，可以很快的应用于计算和证明！

4）该定理往往用于证明和求极限，例如：

求lim(n→0) （1+n）^(1/n)，其中n∈N，这里不用数学归纳法！

考查函数y=(1+x)^(1/x)，根据重要极限，得：lim(x→0) （1+x）^(1/x) =e

令：x(n)=1/n，当lim(n→∞) x(n) = 0，根据海涅定理，必有：

lim(n→∞) （1+1/n）^n =e

即：lim(n→0) （1+n）^(1/n) =e