求解数列 5
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大题就这样写吧：
要证An≤2^n-1，即证A(n+1)=lnAn+An+2≤2^(n+1)-1
而lnAn+An+2≤ln(2^n-1)+2^n-1+2
而当n=1时ln(2^n-1)+2^n-1+2=3=2^(n+1)-1
而当n≥2时，2^(n+1)-1-(ln(2^n-1)+2^n-1+2)=2^n-2-ln(2^n-1)<2^n-2-ln(2^n)=2^n-2-nln2
设Bn=2^n-2-nln2，设函数f(x)=y=2^x-2-xln2
则y'=2^xln2-in2，x=0时y=2^x-2-xln2=0
而x>0时y=2^x-2-xln2单调递增则x≥2时y=2^x-2-xln2单调递增
则f(n)>f(n-1)>……>f(3)>f(2)
则Bn>B(n-1)>……B3>B2=2-2ln2，而ln2<1，则B2>0
则当n≥2时，2^(n+1)-1>ln(2^n-1)+2^n-1+2
综上所述lnAn+An+2≤ln(2^n-1)+2^n-1+2≤2^(n+1)-1
即有An≤2^n-1
要证An≤2^n-1，即证A(n+1)=lnAn+An+2≤2^(n+1)-1
而lnAn+An+2≤ln(2^n-1)+2^n-1+2
而当n=1时ln(2^n-1)+2^n-1+2=3=2^(n+1)-1
而当n≥2时，2^(n+1)-1-(ln(2^n-1)+2^n-1+2)=2^n-2-ln(2^n-1)<2^n-2-ln(2^n)=2^n-2-nln2
设Bn=2^n-2-nln2，设函数f(x)=y=2^x-2-xln2
则y'=2^xln2-in2，x=0时y=2^x-2-xln2=0
而x>0时y=2^x-2-xln2单调递增则x≥2时y=2^x-2-xln2单调递增
则f(n)>f(n-1)>……>f(3)>f(2)
则Bn>B(n-1)>……B3>B2=2-2ln2，而ln2<1，则B2>0
则当n≥2时，2^(n+1)-1>ln(2^n-1)+2^n-1+2
综上所述lnAn+An+2≤ln(2^n-1)+2^n-1+2≤2^(n+1)-1
即有An≤2^n-1
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北京埃德思远电气技术咨询有限公司
2023-08-25 广告
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