Question

设a,b,c是△ABC的三边长，求证：b^2c(b-c)+c^2a(c-a)+a^2b(a-b)>=0

Answer 1

证明:不妨设a≥b≥c,此时1/a<=1/b<=1/c
a(b+c-a)≤b(c+a-b)≤c(a+b-c),
于是由排序不等式可得
1/c*a(b+c-a)+1/a*b(c+a-b)+1/b*c(a+b-c)≤1/a*a(b+c-a)+1/b*b·(c+a-b)+1/c*c(a+b-c)=a+b+c,
1/c*a（(b-a)+c）+1/a*b（(c-b)+a）+1/b*c((a-c)+b）≤=a+b+c,
即1/c*a(b-a)+1/a*b(c-b)+1/b*c(a-c)≤0 同乘abc
a2b(b-a)+b2c(c-b)+c2a(a-c)≥0,提负号
a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)≥0,
上式当且仅当1/a=1/b=1/c或者a(b+c-a)=b(c+a-b)=c(a+b-c),即a=b=c时取等号.

Answer 2

设
a=x+y
b=y+z
c=z+x

代入不等式展开可以化简为
x^3z+y^3x+z^3y >= xyz(x+y+z)
除以xyz得
x^2/y+y^2/z+z^2/x >= x+y+z
由柯西不等式
(x^2/y+y^2/z+z^2/x)(y+z+x) >= (x+y+z)^2
所以原不等式成立。

Answer 3

这IMO试题吧，搞不定，还是看这个吧(注：有一种设a>=b>=c的做法是不行的)
http://zhidao.baidu.com/question/182365908.html

追问

好像是用切线长代换，但怎么代出来啊

追答

这个代换歪

追问

我知道，我是说接下来

追答

没头绪，帮不了你了