Question

过点P(a,-2)作抛物线C:x^2=4y的两条切线，切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2)

过点P(a,-2)作抛物线C:x^2=4y的两条切线，切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2)证明x1x2+y1y2为定值

Answer 1

x²=4y
y=x²/4
则y'=x/2
切点是A和B
则切线斜率k=y'=x1/2和x2/2
所以过A的切线是y-y1=(x1/2)(x-x1)
过B的切线是y-y2=(x2/2)(x-x2)
他们都过P
所以
-2-y1=(x1/2)(a-x1)
-2-y2=(x2/2)(a-x2)

且A和B都在C上
所以y1=x1²/4,y2=x2²/4
所以-4-2*x1²/4=ax1-x1²
x1²-2ax1-8=0
同理x2²-2ax2-8=0
所以x1和x2是x²-2ax-8=0的跟
x1x2=-8

所以y1y2+x1x2
=(x1²/4)(x2²/4)+x1x2
=(x1x2)²/16+x1x2
=4-8
=-4
所以是定值