Question

如图所示,已知△ABC中,AD为BC边上的中线

(1)求证：AD＜1/2（AB+AC)
(2)若AB=10，AC=6求AD的范围

Answer 1

第一种方法；
延长AD到E，使得 DE=AD,连接BE
则易知三角形BDE全等于三角形CDA。因此 BE=AC

在三角形ABE中，AE<AB+BE=AB+AC,而且 AE=2AD

所以 AD<1/2(AB+AC）
第二种方法；

延长AD到E，使AD=DE，连接BE
BD=CD

角ADC=EDB
所以三角形ACD全等于EDB

即：BE=AC

在三角形ABE中，AB+BE>AE

AE=2AD

所以：AB+AC>2AD

即：AD<1/2(AB+AC)
第二问：
AD＝（AB+AC）/2（向量加法）
∴AD²＝（1/4）[AB²+AC²-2|AB||AC|cos∠CAB]
-1＜cos∠CAB＜1
∴（1/4）（10-6）²＜AD²＜（1/4）（10+6）²
∴2＜|AD|＜8

Answer 2

（1）延长AD至点E,使得DE=AD,连结BE
∵BD=CD,AD=DE∠ADC=∠BDE
∴⊿ADC≌⊿BDE
∴BE=AC
∵AB+BE＞AE
∴AB+AC＞2AD
即AD＜1/2（AB+AC)
（2）由（1）得
AB-BE＜AE＜AB+BE
∴AB-AC＜2AD＜AB+AC
∴2＜AD＜8