Question

已知，如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，<CAB的平分线AE交CD于F交CB于E，EG⊥AB于G

求证：（1）四边形CFGE是菱形
（2）EG²=FD.EB

Answer 1

证明：
1、
∵∠ACB＝90
∴∠CAB+∠B＝90
∵CD⊥AB
∴∠CAB+∠CAD＝90
∴∠CAD＝∠B
∵AE平分∠CAB
∴∠CAE＝∠BAE
∵∠CFE＝∠CAD+∠CAE，∠CEF＝∠B+∠BAE
∴∠CFE＝∠CEF
∴CE＝CF
∵EG⊥AB，∠ACB＝90，AE平分∠CAB
∴CE＝EG，AC＝AG
∵AF＝AF
∴△ACF≌△AGF （SAS）
∴CF＝GF
∴CE＝CF＝EG＝GF
∴菱形CFGE
2、
∵菱形CFEG
∴FG∥BC，FG＝EG
∴∠FGD＝∠B
∵CD⊥AB，EG⊥AB
∴∠FDG＝∠EGB＝90
∴△FDG∽△EGB
∴FG/FD＝EB/EG
∴EG/FD＝EB/EG
∴EG²＝FD×EB