Question

已知数列{an}中,a1=1,且an+1=2的n次方an,求通项公式

Answer 1

解：
a(n+1)=2ⁿan
a(n+1)/an=2ⁿ
an/a(n-1)=2^(n-1)
a(n-1)/a(n-2)=2^(n-2)
…………
a2/a1=2
连乘
an/a1=2×2²×...×2^(n-1)=2^[1+2+...+(n-1)]=2^[n(n-1)/2]
an=a1×2^[n(n-1)/2]=2^[n(n-1)/2]
n=1时，a1=2^0=1，同样满足
数列{an}的通项公式为an=2^[n(n-1)/2]

^表示指数，2^[n(n-1)/2]表示2的n(n-1)/2次方。

Answer 2

a(n+1)/an=2^n
则an/a(n-1)=2^(n-1)
…………
a2/a1=2^1
相乘
an/a1=2^[1+2+3+……+(n-1)]=2^[n(n-1)/2]
a=1
所以an=2^[n(n-1)/2]