Question

f(x)=x的平方+px+q,证明|f(1)|,|f(2)|f(3)|中至少有一个不小于二分之一 请用反证法详细证明，可加分奥

Answer 1

证明：假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于1/2,即
|m+n+1|<1/2
|2m+n+4|<1/2
|3m+n+9|<1/2
所以|m+n+1|+2|2m+n+4|+|3m+n+9|<2
又|m+n+1|+2|2m+n+4|+|3m+n+9|≥|m+n+1+3m+n+9|+|4m+2n+8|
=|4m+2n+10|+|4m+2n+8|≥|4m+2n+10-(4m+2n+8)|=2
所以|m+n+1|+2|2m+n+4|+|3m+n+9|≥2，即原假设有误
所以|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|至少有一个不小于1/2

Answer 2

证明：假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于1/2,即
|m+n+1|<1/2
|2m+n+4|<1/2
|3m+n+9|<1/2
所以|m+n+1|+2|2m+n+4|+|3m+n+9|<2
又|m+n+1|+2|2m+n+4|+|3m+n+9|≥|m+n+1+3m+n+9|+|4m+2n+8|
=|4m+2n+10|+|4m+2n+8|≥|4m+2n+10-(4m+2n+8)|=2
所以|m+n+1|+2|2m+n+4|+|3m+n+9|≥2，即原假设有误
所以|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|至少有一个不小于1