Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，E，F分别在AC，BC上，且∠EDF=90°.

求证:EF²=AE²+BF²
(提示:延长FD至G，使DG=DF，连接AG,)

Answer 1

证明：过点A作AM∥BC，交FD延长线于点M，连接EM．
∵AM∥BC，
∴∠MAE=∠ACB=90°，∠MAD=∠B．
∵AD=BD，∠ADM=∠BDF，
∴△ADM≌△BDF．
∴AM=BF，MD=DF．
又DE⊥DF，∴EF=EM．
∴AE²+BF²=AE²+AM²=EM²=EF²

Answer 2

延长ED到G，使DE=DG
因为D是AB中点
所以AD=BD，
角EDA=角BDG
得到三角形ADE全等于三角形BDG
所以角A=角DBG，AE=BG，ED=DG
所以AC‖BG
得到角CBG=180度-角C=90度
再连接GF
因为DF=DF，ED=DG，角FDE=角FDG
所以三角形EDF全等于三角形GDF
所以EF=FG
又因为在直角△FBG中 FG平方=FB平方+BG平方
所以EF平方=AE平方+BF平方