Question

已知定义在R上的函数f(x),满足对任意a,b属于R,都有f(a+b2)=f(a)+2f2(b)成立,则f(2011)=----------

b2和f2后面的2指平方

Answer 1

根据已知：
f(x+1)=f(x)+2f(1)^2
那么：
f(1)=f(0+1^2)=f(0)+2f(1)^2 ……（1）
f(1)=f(1+0^2)=f(1)+2f(0)^2……（2）
从（2）有f(0)=0
那么f(1)=0或者f(1)=1/2
如果f(1)=0，f(2011)=f(1)=0
如果f(1)=1/2,f(2)=1/2+2/4=1,f(3)=1+1/2=3/2,f(4)=3/2+1/2=2,.....
f(2011)=2011/2

所以f(2011)=0或者2011/2………………注意f(x)恒等于0的特殊情况也是可以的。

Answer 2