Question

如图,等腰梯形ABCD中,DC‖AB,对角线AC与BD交于点O,AD=DC,AC=BD=AB

（1）求证：AO=AD
（2）求证：OB²=OD•BD

Answer 1

解：根据题意分析：等腰梯形ABCD的上底为DC,下底为AB
(1)设∠CAB=a，根据等腰梯形的对称性有：∠DBA=a
根据DC‖AB得到：∠BDC=∠ACD=a（两直线平行，内错角相等）
根据AD=DC得到：∠DAC=∠ACD=a
根据BD=AB得到：∠BDA=∠DAB=∠DAC+∠BAC=2a
在△ABD中有：∠ABD+∠ADB+∠BAD=180°有：a+2a+2a=180°得到a=36°
所以：∠ADO=2a=72°，∠AOD=∠CAB+∠DBA=a+a=2a=72°
所以在△AOD是等腰三角形中，AO=AD
（2）∵AC=BD=AB
∴∠ACB=∠ABC=（180°-36°）/2=72°，∠BOC=∠AOD=72°从而∠OBC=36°
所以△ABC相似于三角形BCO
∴AB：OB=BC：OC,因为：AB=BD,BC=OB,OC=OD,等量代换有
BD：OB=OB：OD
即有：OB²=OD。BD.

追问

第一题有没有更简单的方法，不算角的度数？

追答

可以不求出度数，直接表达角度关系！