Question

已知向量a=(sinθ,1),b=(1,cosθ),-π/2＜θ＜π/2. （1）若向量a⊥b求θ，（2）求向量|a+b|的最大值

Answer 1

1)∵a⊥b
∴sinθ+cosθ=0
∴tanθ=-1
∵-π/2＜θ＜π/2
∴θ=-π/4
2)∵a+b=(sinθ+1,cosθ+1)
∴|a+b|
=√(a+b)²
=√[(sinθ+1)²+(cosθ+1)²]
=√[sin²θ+1+2sinθ+cos²θ+1+2cosθ+]
=√[3+2(sinθ+cosθ)]
=√[3+2√2sin(θ+π/4)]
∵-π/2＜θ＜π/2 ∴-π/4<θ+π/4<3π/4
∴θ+π/4=π/2 即:θ=π/4时 |a+b|max=√(3+2√2)=1+√2

Answer 2

（1）由a⊥b得a·b=0
∴sinθ×1+1×cosθ=0
∴sinθ=-cosθ
∵sin²θ+cos²θ=1
∴cos²θ=1/2
∵-π/2＜θ＜π/2
∴cosθ=1/2,sinθ=-1/2
∴θ=-π/4
(2)a+b=(sinθ+1,1+cosθ)
▏a+b▏=√(sinθ+1)²+(1+cosθ)²
=√3+2（sinθ+cosθ）
=√3+2√(sinθ+cosθ)²
=√3+2√sin²θ+cos²θ+2sinθcosθ
=√3+2√1+sin2θ
≤√(3+2√1+1)
=√(3+2√2)
=√2+1
当且仅当θ=π/4时，不等式取等号。
此时▏a+b▏的最大值是√2+1