Question

已知sinθ+sinφ=1,则cosθ+cosφ的值的范围是

Answer 1

∵sinθ+sinφ=1,
∴（sinθ+sinφ)²=1
∴sin²θ+2sinθsinφ+sin²φ=1
设t=cosθ+cosφ
∴t²=(cosθ+cosφ)²=cos²θ+2cosθcosφ+cos²φ
∴t²+1
=cos²θ+2cosθcosφ+cos²φ+sin²θ+2sinθsinφ+sin²φ
=2+2cos(θ-φ)
∴t²=1+2cos(θ-φ)∈[0,3]
∴-√3≤t≤√3
∴ cosθ+cosφ的值的范围是[-√3,√3]

Answer 2

已知：sinx+siny=1
求：z=cosx+cosy的取值范围。
解
两个式子的两边平方，相加，可得：
z²+1=1+1+2(cosxcosy+sinxsiny)
z²=1+2cos(x-y)≤3
∴-√3≤z≤√3

Answer 3

sinθ+sinφ=1
cosθ+cosφ=x
cosθ+cosφ＋sinθ+sinφ＝1＋X
sin﹙θ＋π／4﹚+sin﹙φ＋π／4﹚＝√2﹙X＋1﹚／2
-2≤√2﹙X＋1﹚／2 ≤2
cosθ+cosφ的值的范围[－2√2－1，2√2－1]