Question

如图 在△ABC中，AB=AC，AD和BE都是高，它们相交于点H，且AH=2BD。求证：AE=BE。

要用到全等三角形的知识，拜托了。

Answer 1

证明： 因为 AB=AC AD是△ABC的高，
所以2BD=BC
又因为 AH=2BD
所以AH=BC
因为 AD和BE都是高
所以 角C+角DAC=90度
角C+角EBC=90度
角AHE+角DAC=90度
所以角DAC=角EBC
角AHE=角C
在△AHE和△BCE中
角DAC=角EBC
AH=BC
角AHE=角C
△AHE全等△BCE
所以 AE=BE

Answer 2

证明：因为AB=AC则△ABC为等腰 ，且AD是高
所以AD也是中线 所以BD=BC 因为AH=2BD 所以BC=AH
则根据AAS证△AEH全等于△BEC
所以AE=BE

追问

为什么等腰我知道，但是为什么AD为高然后就变成中线了？

追答

等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线相互重合。叫等腰三角形三线合一。
　　前提：在三角形中！只要有两条线重合，那这个三角形一定是等腰三角形。
已知：△ABC为等腰三角形，AD为中线。求证：AD垂直平分BC，BD=DC
等腰三角形ABC(AB=AC)
.

　　∵△ABC为等腰三角形 (已知）
　　∴AB=AC(等腰三角形的性质)
　　∴∠B=∠C（等边对等角）
　　∵AD为中线（已知）
　　∴BD=DC（等腰三角形中线为垂直平分线）
　　∵AD为公共边
　　∴△ADB≌△ADC（S.A.S)
　　可得∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC(全等三角形对应角相等）
　　∵∠ADB+∠ADC=∠BDC（已证），且∠BDC=180度（平角定义）
　　∴∠ADB=∠ADC=90°（等量代换）

Answer 3

证明：
∵△ABC是等腰三角形，AD⊥BC
∴BC=2BD
∵BE⊥AC
∴∠HAE+∠C=∠CBE+∠C=90°
∴∠CBE=∠HAE
∵BE=AE，∠AEH=∠BEC=90°
∴△BCE≌△AHE
∴AH=BC
∴AH=2BD