Question

高等数学 该怎么通俗的理解极限保号性与数列极限有界性的证明问题？

汤家凤老师讲的证明实在使太难理解了，希望可以得到更加简单的解释，谢谢回答。

Answer 1

我的这个解释希望能帮助你思考吧。

1. 如果在一个x,y二维平面上去看的话，y=f(x)就是一条曲线了。证明中的极限也就是说当x趋于x_0的时候，f(x)这条曲线是趋于(x_0, A)这个点的。通过极限的定义就是说 对于任意的b>0，存在a>0，使得当|x-x_0|<a时候，|f(x)-A|<b，从图形上来说就是，对于以A为圆心，任意的b为半径画一个圆成为B，都存在一个a，当|x-x_0|<a时候，所以f(x)都落在那个圆B里面。所以你想要f(x)>0，那么这个圆B的半径取多大呢，只要比A小一点这个圆就肯定在上半平面，也就是f(x)>0，所以取个A/2,A/3,4/A随便你

2. 第二个问题其实也可以类似考虑，我就简单说下了。那个数列极限也说明，随便取个常数b,都存在一个N，当n>N时候，|a_n-A|<b,换句话说就是所有的a_n（n>N）都落在这个圆（A圆心，b半径）里。所以当n>N的时候，无穷多个a_n都落在圆里，当然是有界的，那么前面的有限个a_1,...,a_N肯定也能找到个最大和最小的，那么整个数列也就能找到个上下界了。题目证明中b=1，你也可以随便取个数

追问

感谢您的回答，我再想一想

追答

我说的你在纸上画个图看看就明白了

Answer 2

数列的有界一开始也是局部的（n＞N时有界），但是这个局部之外只有有限项(第1～N项)，所以把前N项的值补进来，数列还是有界的。
函数极限的有界性是由自变量的变化趋势决定的，自变量取值是实数，不管是在x0的去心δ邻域内有界，还是当|x|＞X时有界，它们的外面还有无穷多个实数，对应有无穷多个函数值，一般来说是不可能把这些函数值都补进来的，所以只能是局部性有界。

追问

你真的太恶心了

Answer 3

这玩意说“简单”了也不见得更容易理解，还是需要沉下心来把基础概念弄明白，如果你认认真真读10遍还不明白，那再说
简单的说，一个函数的在x趋于x0时的极限是A，则x越靠近x0，f(x)的函数值就会在A更近的一个范围内波动

追问

感谢您的回答，我再自己理解理解。

Answer 4

如图，看这个定义就行了

这个是有界性的定义

楼主记下定义的套路就行，出的题目就是先写定义，然后再往定义里面加题目的对应运算数字就行了

追问

感谢您的回答，这些小问题确实是对基本定义的运用。