Question

求下列各微分方程的通解或在给定条件下的特解（1）(y-x)dy-ydx=0 （2）（y^2-3x^2）dy-2xydy=0，y|x=0 =1

最好有详细步骤，谢谢了

Answer 1

（1）(y-x)dy-ydx=0
ydy-d(xy)=d(y^2/2-xy)=0,
y^2/2-xy=c,
y|x=0 =1,
所以c=1/2.
所求特解是y^2-2xy=1.
（2）（y^2-3x^2）dx-2xydy=0(改题了)
设y=tx,则dy=xdt+tdx,方程变为
(t^2-3)dx-2t(xdt+tdx)=0,
(-t^2-3)dx-2txdt=0,
分离变量得2tdt/(t^2+3)=-dx/x,
ln(t^2+3)=-lnx+lnc,
t^2+3=c/x,
y^2+3x^2=cx,
y|x=0 =1，无解。